Independencia lineal y Bases

COMBINACION LINEAL

Definición:

Sea V un espacio vectorial y consideremos vectores de V. Diremos que el vector es COMBINACION LINEAL de los vectores si existen escalares tales que

1. Determinar si el vector (26,11) se puede expresar como combinación lineal de los vectores (2,5) y (5,-1).
2. Determinar si el vector (3,4,1) se puede expresar como combinación lineal de los vectores (1,2,1), (3,1,4) y (4,3,5).
3. Escribir si es posible, el vector (1,-1,4) como combinación lineal de los siguientes vectores de R³: a) (1,1,2) y (0,0,1) ; b) (2,-2,0) y (-1,1,2) ; c) (1,0,1), (0,1,1) y (1,1,0).

Dependencia Lineal

Definición:

Sean V1, V2, V3, ..., Vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que V1, V2, V3, ..., Vn son linealmente dependientes si para cualesquiera números reales a1, a2, a3, ..., an tales que cumplan

a1V1 + a2V2 + a3V3 + ... + anVn = 0 donde 0 es el vector cero de V,

entonces existe algún i en i=1,2,3,..,n tal que ai sea diferente de cero.

1. Sean u= (1,2) ; v= (3,5) y w= (7,11) vectores en R2. Determine si u, v y w son linealmente dependientes.
2. Estudiar la dependencia lineal de los vectores: = (3, 1) y = (2, 3)
3. Estudiar la dependencia lineal de los vectores: = (x − 1, 3) y = (x + 1, 5)
4. Estudiar la dependencia lineal de los vectores: = (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)
5. Dados los vectores , calcular el vector combinación lineal
6. El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

7. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

   

8. Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

9. Dados los vectores:

   = 3 + 2

   = − 3

   = 3 − 2

   Calcular las coordenadas del vector respecto de la base (, ).

10. Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)?
11. Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).
12. Sean = (1,0,-1), , = (-1,2,3)y = (−1,6,7) vectores en R3. Determine si u, v y w son vectores linealmente dependientes.
13. Sean u=(1,1,1); v=(0,-2,3) y w=(-2,0,5) vectores en R3. Utilizando el criterio anterior, determine si u, v y w son linealmente dependientes

Vectores paralelos

Definición

Sean u y v dos vectores de un espacio vectorial V. Se dice que u y v son paralelos, si u y v son linealmente dependientes, y por el teorema anterior, se puede decir que u y v son paralelos si existe un número real "a" tal que u=av .

ejercicio

1. En cada uno de los casos siguientes, determine si cada par de vectores dados son paralelos. a) u= (-1,3), v= (0,1) ; b) u=(-1,1,0), v=(4,-4,0).
   

Independencia lineal

Definición

Sean V1, V2, V3, ..., Vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que V1, V2, V3, ..., Vn son linealmente independientes si para cualesquiera números reales a1, a2, a3, ..., an tales que cumplan

a1V1 + a2V2 + a3V3 + ... + anVn = 0 donde 0 es el vector cero de V,

entonces, para todo i, con i=1,2,3,..,n se cumple que ai=0.

1. Sean u= (-1,2,0) ; v= (-3,0,2) y w= (0,1,1) vectores en R3. Determine si u, v y w son linealmente independientes.
2. Sean u= (-1,2,4) ; v= (0,2,-2) y w= (3,-1,2) . Verifique que u, v y w son linealmente independientes.
3. Determine si los siguientes vectores son dependientes o linealmente independientes. a) u = (-4, 5), v = (2, 7) ; b) u = (3, 5, -2), v = (-3, 0, 4), w = (3, 1, 2).
4. Sean u,v y w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. Determine si los vectores A, B y C son linealmente independientes o linealmente dependientes sabiendo que A = 3u - w, B = u + 2v y C = v - 3w.

Ejercicios Complementarios

1. Consideremos los

siguientes vectores

¿Se puede expresar el vector como combinación lineal de los tres primeros vectores?

2. Determinar si son L.I. o L.D los siguientes conjuntos de vectores: a) {(-1,2,0), (1,0,1), (0,1,1)} ; b) {(1,2,3,-5),(1,4,1,-2),(2,0,-3,1),(0,6,7,-8)}

3. Comprobar si los siguientes conjuntos de vectores son L.I. o L.D. a) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)}
b) {(0,0,0)} ; c) {(1,2,-1),(3,1,1),(1,0,-1)} ; d) {(1,1,0),(0,1,1)} ; e) {(1,3,6,5,3,4),(1,0,0,2,3,-1),(1,3,2,3,2,0),(1,1,-1,-2,3,1)

4. Determinar el rango del conjunto de vectores a) {(2,1,0), (1,-1,3), (0,-3,6), (6,0,6)} ; b) {(1,-2,1,1),(3,0,2,-2),(0,4,-1,1)} ; c) {(1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,2,3,1).

5. Dados los vectores de R⁴: (a,-1,0,1); (0,a,-1,1) y (1,0,-1,2). Determinar los valores de a para que los vectores sean linealmente independientes.

6. Determinar el rango de los siguientes conjuntos de vectores: a) {(1,-1,0,-2,5),(1,3,-5,1,3),(1,3,1,-2,5),(1,1,1,0,-2),(9,0,1,2,-1)} ; b) {(2,3,4,-3,1),(1,0,-3,2,5),(7,9,9,-7,8),(-2,3,16,-11,-19)}

Sea un SISTEMA DE GENERADORES de V. Entonces se verifica que

1) Si G es un conjunto L.D. entonces existe al menos un subconjunto suyo G' que genera a V.

2) Si G es un conjunto L.I. entonces no existe ningún subconjunto suyo que genere a V.

A partir de esta pro piedad parece claro afirmar que el número mínimo de vectores de un conjunto que generan un subespacio vectorial W vendrá dado por el RANGO de ese conjunto.

1. Sea W el subespacio generado por el conjunto de vectores G={(1,2,3,1),(0,1,2,3),(1,0,0,0),(1,0,-1,-5),(1,2,4,6)} Calcualar: a) el rango del conjunto G b) el conjunto G' que contiene el mínimo número de vectores de G precisos para generar el mínimo número de vectores precisos para generar W.

2. Calcular los valores de a y b para que el vector (2,a,-3,2,18,b) pertenezca al subespacio vectorial generado por los vectores {(3,5,-2,1,7,-4),(1,9,0,0,-4,3),(3,6,-1,0,0,0)}

BASE

se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

• Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
• Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
• Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir , B es un sistema generadorde V).

1. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en R²?. a) {(1, 3), (1, -1)} ; b) {(1, 2), (2, -3), (3, 2)} ; c. {(1, 3), (-2,6)}.

2. ¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en R³?. a) {(1, 2, 0), (0, 1, -1)} ; b) {(3, 2, 2), (-1, 2, 1), (0, 1, 0}.

3. Se consideran las siguientes bases de R2: B1 = ( u1 = (1; 2); u2 = (2; 3) ) ; y B2 = ( v1 = (1; 3); v2 = (1; 4) ). Hallar las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto de la base B2 y las coordenadas de los vectores de la base B2 respecto de la base B1.

4. Se consideran los subespacios vectoriales de R4 siguientes: V1 =< (1; 1; 1; 1); (1; 2; 3; 4) >;
V2 =< (1; 1; 0; 1); (1; 0; 0; 0); (0; 1; 1; 0); (0; 0; 0; 1) > ; Pertenece el vector (1; 0; 1;-2) a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios.

5.¿Para qué valores del número real a es base de ℜ 3 el conjunto {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}?
Halle las coordenadas del vector (−1, 1, 3) respecto del citado conjunto de vectores para a = 2.

Teorema y definición: Dimensión.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un E, es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.conjunto de vectores de dicho espacio.
Ejemplos de dimensión.
1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica).
2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una base de M2x2 es:




3. P2= {polinomios de grado2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P≤2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:
1+0x+0x2 , 0+x+0x2, 0+0x+x2 (es decir, los polinomios 1, x, x2).
Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2.

Propiedades de la dimensión.
1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
2. La dimensión de un subespacio en ℜn, coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.
Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.
Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.
(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Ejemplo.
En ℜ3, sea S el subespacio generado por: (1,0,2), (0,–1,–2), (3,3,3), (2,2,0).
Observamos que el rango de este conjunto (= rango de la matriz que forman, por filas o por columnas) es 3. Así por la propiedad 4 , tenemos que dim S = 3. Pero como estamos en ℜ3, por la propiedad 3 ha de ser S=ℜ3.

Teorema.
Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces,
• Si tenemos m vectores linealmente indep. en S, también serán sistema generador de S.
• Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes.
Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.
Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.
Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.

Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m,
• un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente.
• un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.
Así pues, por ejemplo, 3 vectores en ℜ2 podrán ser o no sistema generador de ℜ2, pero nunca podrán ser linealmente independientes.
Del mismo modo, 2 vectores en ℜ3 podrán ser linealmente independientes o no, pero nunca serán sistema generador de ℜ3 (aunque sí podrán serlo de un subespacio más pequeño).

Ejercicios:

1.- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación
estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base:
a) ((2; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1) ; (3; 1; 1; 2) ; (0; 1; 2; 1) ; (2;-1; 1;-1)) en R4

2.- Para el conjunto S de vectores siguiente se pide ver que son linealmente
independientes, añadirles vectores hasta convertirlos en base y calcular las coordenadas
del vector v en dicha base.
S = ((1; 2; 1; 1) ; (1; 1; 0; 2)), v = (1; 1; 3; 1), en R4